Τρίτη, 17 Ιουνίου 2008

7. ΑΡΙΘΜΟΙ

Οι ανάγκες του πρώτου ανθρώπου ικανοποιούνταν με τους αριθμούς που σήμερα αποκαλούμε ΦΥΣΙΚΟΥΣ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, κ.ο.κ. Όντως στην απαρίθμηση φυσικών στοιχείων είναι οι μόνοι που χρειάζονται: ένα βουνό, δύο συκιές, επτά ροδάκινα, ογδόντα πρόβατα.
Το μηδέν δύσκολα το τοποθετείς στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Οι αρχαίοι Έλληνες που το είχαν συνδέσει με το τίποτα, το απεχθάνονταν. Βέβαια το πόσο χρήσιμο είναι, φάνηκε από την ανάπτυξη που δέχθηκε η άλγεβρα από τους Άραβες οι οποίοι αγκάλιασαν και χρησιμοποίησαν το μηδέν σαν κανονικό αριθμό.
Μετά αρχίσαμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Η θερμοκρασία είναι 7 βαθμοί Κελσίου. Πέφτει κατά 10 βαθμούς. Πόσο είναι τώρα; Οι φυσικοί αριθμοί αδυνατούν να δώσουν απάντηση, οι ακέραιοι μπορούν.
Τοποθετούμε τους φυσικούς αριθμούς σε μια ευθεία που εκτείνεται επ’άπειρον προς τα δεξιά με αρχή το μηδέν. Η ίδια ευθεία μπορεί να επεκταθεί αριστερά για να συμπεριλάβει και τους αρνητικούς αριθμούς. Όλοι οι θετικοί (φυσικοί) και οι αρνητικοί (οι αντίθετοι των θετικών) μαζί λέγονται ΑΚΕΡΑΙΟΙ.
Μετά χρειαστήκαμε τη διαίρεση. Είναι εύκολο να μοιράσεις ένα κοπάδι 50 ζώων σε δυο κληρονόμους. Αν οι κληρονόμοι είναι τρεις, δεν μας ικανοποιούν οι ακέραιοι αριθμοί...
Στην ευθεία των ακεραίων υποδιαιρούμε τα διαστήματα μεταξύ των ακεραίων σε μικρότερα κομμάτια και έτσι προκύπτουν οι ΡΗΤΟΙ. Ρητοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν ως (ανάγωγο) κλάσμα: 50/3
Αργότερα καθώς οι ανάγκες μας για μετρήσεις και μοιρασιές μεγάλωναν, διαπιστώσαμε ότι οι ρητοί δεν μας αρκούν. Έτσι δημιουργήθηκαν οι ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ. Κάθε σύνολο αριθμών περιέχει το προηγούμενο σαν γνήσιο υποσύνολό του. Έτσι οι πραγματικοί περιέχουν τους ρητούς αλλά και τους άρρητους. Οι τελευταίοι δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσμα π χ.: η υποτείνουσα ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου με μοναδιαία πλευρά είναι √2. Τέτοιοι αριθμοί έχουν μετά την υποδιαστολή άπειρο πλήθος μη επαναλαμβανόμενων ψηφίων.
Μάλιστα οι άρρητοι χωρίζονται σε δυο «οικογένειες»: οι αλγεβρικοί άρρητοι (όπως ο √2 που είναι λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων) και οι υπερβατικοί άρρητοι (όπως ο π 3,14159… που δεν είναι λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων.)
Οι μαθηματικοί δεν αρκέστηκαν σε όλα αυτά και εφηύραν και τους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ αριθμούς. Αυτοί δεν βρίσκονται πάνω στην ευθεία των (φυσικών-ακέραιων- ρητών) πραγματικών αριθμών αλλά στο επίπεδο που ορίζεται από αυτή την ευθεία και μια κάθετη που περνάει από το μηδέν. Είναι της μορφής χ+ψi όπου χ το πραγματικό μέρος του αριθμού και ψi το φανταστικό. (i^2 = -1) Ουσιαστικά μοιάζουν με συντεταγμένες ενός σημείου στο επίπεδο. Όσο φανταστικοί και αν φαίνονται αυτοί οι αριθμοί, είναι χρησιμότατοι στα μαθηματικά και στη φυσική στοιχειωδών σωματιδίων. Κάθε σύνολο αριθμών μας διευκολύνει να κάνουμε πράγματα που απαγορεύονταν με το προηγούμενό του.
Στο σύνολο των φυσικών αριθμών δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε ένα αριθμό από έναν μικρότερό του ( 3-7).
Στους ακέραιους δεν μπορούμε να διαιρέσουμε έναν αριθμό με έναν άλλο (εκτός του 0) αν δεν είναι παράγοντας του πρώτου (8:3).
Στους ρητούς δεν μπορείς να βρίσκεις πάντοτε το όριο μιας συγκλίνουσας σειράς (πχ. το όριο του √2).
Στους πραγματικούς οι αρνητικοί αριθμοί δεν επιτρέπεται να έχουν τετραγωνική ρίζα (χ^2=-1 δηλ. x=√-1).
Λίγη ιστορία: Οι φυσικοί αριθμοί ήταν γνωστοί από τους προϊστορικούς χρόνους. Οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν κλάσματα στην αρχή της 3ης χιλιετίας π.Χ. Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε τους άρρητους γύρω στο 600 π.Χ. Οι αρνητικοί ακέραιοι ήρθαν με την αναγέννηση μέσω της λογιστικής (το μηδέν είχε κάνει την εμφάνισή του λίγο νωρίτερα). Υπάρχουν ακόμη δύο σύνολα πέρα από τους μιγαδικούς: οι κουατερνιονικοί και οι οκτωνιονικοί αριθμοί.

Δεν υπάρχουν σχόλια: