Παρασκευή, 6 Ιουνίου 2008

4. ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Εξισώσεις που απαιτούν ως λύσεις μόνο ακέραιους αριθμούς.
Φέρουν το όνομα του πατέρα της άλγεβρας, Διόφαντου (3ος αι. π.Χ.)
Τις αντιμετωπίζουμε συχνά στην καθημερινή μας ζωή:
θέλω την υπέροχη συνταγή της γιαγιάς για κέικ σε τριπλή δόση. Πόσα αυγά, πόσα πορτοκάλια, πόσες συσκευασίες ζάχαρης, γάλατος, βανίλιας και βιτάμ να αγοράσω; Η σχετική εξίσωση μπορεί να δίνει ως λύσεις (εκφρασμένες σε γραμμάρια ή μιλιλίτρα) δεκαδικούς αριθμούς αλλά δεν μπορώ να αγοράσω 1+3/4 λίτρα γάλατος, ούτε επτάμισι αυγά, ούτε δυόμισι συσκευασίες βανίλιας. Το ίδιο αντιμετωπίζει μια ναυτιλιακή εταιρία αν θέλει να εξυπηρετήσει σε ένα καλοκαιρινό δρομολόγιο περισσότερους ταξιδιώτες: πρέπει να επανδρώσει ένα ακέραιο αριθμό περισσότερων πλοίων.


Ο Χίλμπερτ το 1900 παρέθεσε στους μαθηματικούς τον επόμενων γενεών 23 δύσκολα προβλήματα. Το δέκατο πρόβλημα ζητούσε ένα αλγόριθμο (μια τυπική διαδικασία) για να βρίσκουμε αν μια διοφαντική εξίσωση με οσουσδήποτε ακέραιους συντελεστές έχει ή δεν έχει ακέραιες λύσεις.
Το 1970 ο Ματιάσεβιτς απέδειξε ότι δεν υπάρχει τέτοια διαδικασία.

Τέτοια διαδικασία ωστόσο υπάρχει για τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις τριών συντελεστών (αχ2+βχ+γ=0) που διδαχθήκαμε στο Λύκειο: από τη διακρίνουσα Δ=β2-4αγ, ανακαλύπτουμε αν η εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις ή όχι χωρίς καν να λύσουμε την εξίσωση!

Δεν υπάρχουν σχόλια: