Τετάρτη, 25 Ιουνίου 2008

8. Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΠΕΡΗ

Οι μαθηματικοί συχνά ασχολούνται με άπειρα αθροίσματα. Πάρτε το
1+1/2+1/3 +1/4 +1/5 +1/6 +1/7 +…
αυτό το άθροισμα τείνει στο άπειρο (αποκλίνει).
Αν υψώσουμε κάθε όρο σε κάποια δύναμη έχουμε:


1+1/2^Ν+1/3 ^Ν +1/4 ^Ν +1/5 ^Ν +1/6 ^Ν +1/7 ^Ν +…


Ειδικά για Ν=2 η σειρά είναι γνωστή ως
«το πρόβλημα της Βασιλείας».
Ο Όιλερ απέδειξε ότι σειρά συγκλίνει για Ν άρτιο. Συγκεκριμένα:
Για Ν=2 η σειρά συγκλίνει στο π^2/6
Για Ν=4 η σειρά συγκλίνει στο π^4/90
Για Ν=6 η σειρά συγκλίνει στο π^6/945



Για Ν περιττό δε γνωρίζαμε τίποτα για τη συμπεριφορά της σειράς. Ο Ελληνογάλλος μαθηματικός Ροζέ Απερής απέδειξε το 1978 ότι η σειρά για Ν=3
(δηλ. 1+1/2^3 +1/3^3 +1/4^3 +1/5^3 +1/6^3 +1/7^3 +…)
είναι ο άρρητος αριθμός 1,2020569031595942854
Ο αριθμός αυτός παίζει σημαντικό ρόλο στη Θεωρία αριθμών: αν πάρετε στην τύχη τρεις θετικούς ακεραίους η πιθανότητα να μην έχουν κανένα κοινό παράγοντα είναι 0,83190737258070746868.. (δηλ. περίπου 83%) που είναι ο αντίστροφος του αριθμού Απερή.

2 σχόλια:

Regina είπε...

Aυτή δεν είναι η συνάρτηση ζήτα; Και έχει μεγάλη σχέση και με τη μουσική, το είχε ανακαλύψει πρώτος ο Πυθαγόρας!

anonimos είπε...

Ναι σωστά,
Συνάρτηση ζ του Riemann. Και ο αριθμός Απερή δεν είναι τίποτα άλλο από το ζ(3).
Για κάθε φυσικό ν>0, το ζ(2ν) μπορεί να γραφεί με κλειστή μορφή (πχ το ζ(2) γνωστό σαν πρόβλημα της Βασιλείας, είναι το π^2/6) ενώ το ζ(2ν+1) δεν έχει κλειστή μορφή και είναι απλά ένας άρρητος.