Διάλογοι για τα μαθηματικά

Αφιερωμένο στην Ερμιόνη και τον Αλέξανδρο που μας έδωσαν αυτό το υπέροχο (και σήμερα δυσεύρετο) βιβλίο:

Alfred Renyi, Διάλογοι για τα μαθηματικά, εκδ. Διογένης, Αθήνα, 1979.

Περιέχει 3 εξαιρετικούς διαλόγους για τη φύση και τη χρησιμότητα των μαθηματικών!

ΔΙΑΛΟΓΟΣ Α΄(Συνομιλούν ο Ιπποκράτης και ο Σωκράτης)

- H επιστήμη των μαθηματικών ασχολείται με κάτι που υπάρχει στην πραγματικότητα, ή υπάρχει μόνο στο νου των μαθηματικών;

- Αν γράψω ένα αριθμό, ο αριθμός αυτός δεν υπάρχει πάνω στην πινακίδα;

-  Ναι αλλά αν ζωγραφίσεις ένα δράκο, σημαίνει ότι ο δράκος υπάρχει στ’ αλήθεια;

- Μπορείς να μετρήσεις τα πρόβατα εδώ, ή τα πλοία στο λιμάνι; Οι αριθμοί που χρησιμοποιείς υπάρχουν καθευατούς;

Ο Θεαίτητος έχει δώσει μερικά παραδείγματα για την αξιοπιστία των μαθηματικών: ενώ δεν μπορείς να μετρήσεις με ακρίβεια το πλήθος των κατοίκων της Ελλάδας (αφού στη διάρκεια της μέτρησης κάποιοι θα πεθάνουν και κάποιοι νέοι θα γεννηθούν) μπορείς να αποφανθείς με βεβαιότητα για το πλήθος των ακμών ή των εδρών ενός πολυγώνου. Ενώ δεν μπορείς να βρεις δυο ίδιες κολώνες, ή πρόβατα ή δάχτυλα, μπορείς να αποφανθείς με βεβαιότητα για την ισότητα των διαγωνίων του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

Τα μαθηματικά μπορούν να μιλούν με βεβαιότητα για πράγματα που δεν έχουν υλική υπόσταση, ενώ  άλλες επιστήμες που έχουν αντικείμενο με υλική υπόσταση δεν μπορούν να μιλούν για αυτό με τόση βεβαιότητα .

Ο μαθηματικός είναι και εφευρέτης και εξερευνητής!  Εφευρίσκει εργαλεία έρευνας, αλλά ανακαλύπτει αλήθειες που υπάρχουν στη θάλασσα της ανθρώπινης σκέψης.

Ο κόσμος των μαθηματικών είναι μια αντανακλώμενη εικόνα του πραγματικού κόσμου στον καθρέφτη της σκέψης μας,  σαν το είδωλο του προσώπου μας όταν καθρεφτιζόμαστε στο νερό.

Η χρησιμότητά τους έγκειται στο ότι μπορούμε να συνάγουμε συμπεράσματα για τη φύση των αριθμών και των σχημάτων και μετά να χρησιμοποιούμε τις γνώσεις μας στις καθημερινές μας συναλλαγές,  όπως το μοίρασμα μιας περιουσίας, η περίφραξη ενός χωραφιού κ.ο.κ.

Πάντως η μεγαλύτερη ωφέλεια από τα μαθηματικά θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε τις ίδιες τις μαθηματικές μεθόδους, τους κανόνες της λογικής, τον ασυμβίβαστο αγώνα για την αλήθεια, την προσπάθεια αποφυγής αντιφάσεων στον τρόπο που πολιτευόμαστε τα ζητήματα της καθημερινής ιδιωτικής και δημόσιας ζωής μας!

ΔΙΑΛΟΓΟΣ Β΄(Συνομιλούν ο Ιέρων-τύραννος των Συρακουσών- και ο Αρχιμήδης)

Ο Ιέρων επαινεί τον Αρχιμήδη για την επιτυχία των κατόπτρων του ενάντια στο ρωμαϊκό στόλο, του χαρίζει ένα δώρο, του γνωστοποιεί τους όρους της συνθήκης ειρήνης που ζητά ο Μάρκελλος (μεταξύ άλλων να κρατήσει ομήρους τα παιδιά του Ιέρωνα και τον ίδιο τον Αρχιμήδη.) Μετά τον ρωτά από ποιες βασικές αρχές ξεκινώντας έφτασε ο Αρχιμήδης σε αυτές τις επιτυχημένες εφαρμογές και αν τα εφαρμοσμένα μαθηματικά είναι δυσκολότερα, ανώτερα, καλύτερα, πιο χρήσιμα από τα καθαρά μαθηματικά!

Ο Αρχιμήδης του θυμίζει ότι ούτε ο άρχοντας ούτε το ευρύ κοινό δεν πήραν στα σοβαρά καμιά από τις εφευρέσεις του σε περίοδο ειρήνης: μια αντλία με ατέρμονα κοχλία, μια ατμομηχανή για να γυρίζει ο μύλος, μοχλούς, γρανάζια, τροχαλίες. Μόνο όταν έφτασε ο πόλεμος θεώρησαν χρήσιμες τις πολεμικές εφαρμογές αυτών των εργαλείων!  Και παραπονιέται ο Αρχιμήδης ότι ενώ είχε σκοπό να κάνει παγκοσμίως γνωστή την αξία των μαθηματικών και την αξία του ελληνικού πνεύματος που τα γέννησε σε περίοδο ειρήνης, όμως όλοι θεωρούσαν τις εφευρέσεις του παιχνιδάκια και μόνο όταν οι εφευρέσεις άρχισαν να σκοτώνουν τις πήρε ο κόσμος στα σοβαρά!

Στην ερώτηση για τα εφαρμοσμένα και τα καθαρά μαθηματικά απαντά ότι ούτε έκανε καμιά νέα ανακάλυψη ούτε υπάρχουν μυστικά κρυμμένα στα εφαρμοσμένα μαθηματικά: απλά εφαρμόζεις πασίγνωστες αλήθειες των μαθηματικών, όπως αυτή για τις ιδιότητες της παραβολικής καμπύλης για να κατασκευάσεις παραβολικό κάτοπτρο. Δίνει κι άλλα παραδείγματα: πώς χρησιμοποιείς το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο για να συνδυάσεις γρανάζια. Παραλληλίζει τα μαθηματικά με την πανέμορφη κόρη του βασιλιά: τα μαθηματικά ανταμείβουν μόνο αυτούς που ενδιαφέρονται για αυτά τα ίδια και όχι για τα κέρδη τους! Κάνει επίσης μια νύξη για τη σχέση των μαθηματικών μοντέλων με τον πραγματικό κόσμο και τη σχέση των μαθηματικών εννοιών με τις πλατωνικές ιδέες.

ΔΙΑΛΟΓΟΣ Γ΄ (Συνομιλούν  ο Τορρικέλι, ο Γαλιλαίος και η οικοδέσποινα)

Ο Τορρικέλι επισκέπτεται το Γαλιλαίο στο σπίτι που τον είχε περιορίσει η ιερά εξέταση και του προτείνει ένα σχέδιο απόδρασης. Ο Γαλιλαίος αρνείται με το επιχείρημα ότι αν φύγει, ανακηρύσσει τους αντίπαλους του νικητές. Αναλύει τη σκέψη του για το φόβο των ψευδοεπιστημόνων και της εκκλησίας να αποδεχθούν τα σύγχρονα δεδομένα. Δίνει μια «αριστοτελική» εξήγηση γιατί το αρχαίο ελληνικό πνεύμα δεν ανέλυσε την κίνηση.

- Κάποτε θεωρούσαν ανόητη την ιδέα για σφαιρική γη αλλά τώρα πια αυτή η ιδέα έχει λάβει κοινή αποδοχή. Έτσι σιγά σιγά ο κόσμος θα χωνέψει και τα νέα δεδομένα: τους δορυφόρους του Δία, τις φάσεις της Αφροδίτης κτ.ο.

Τονίζει ότι έγραψε το διάλογο όχι για να υπερασπιστεί τη θεωρία του Κοπέρνικου, όσο «για να σηκώσει ψηλά τη σημαία της ελευθερίας της επιστήμης.» Ο Τορρικέλι τον ενημερώνει για την υπόθεση του Κέπλερ ότι οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές, αλλά ο Γαλιλαίος επιμένει στις κυκλικές.

Έπειτα ο Γαλιλαίος αναλύει στην οικοδέσποινα την επιστημονική μέθοδο: για ένα φαινόμενο που παρατηρείς κάνεις μια υπόθεση, στήνεις ένα πείραμα για να επιβεβαιώσεις την υπόθεσή σου, ανάλογα με το αποτέλεσμα στήνεις και άλλα πειράματα για να ελέγξεις και τις αντίθετες ή αντικρουόμενες υποθέσεις και τέλος η πιο ισχυρή εξήγηση υιοθετείται. «Το βιβλίο της φύσης μπορεί να διαβασθεί μόνο από εκείνους που ξέρουν τη γλώσσα που είναι γραμμένο, η γλώσσα αυτή είναι τα μαθηματικά.»  Παρομοιάζει τα μαθηματικά με την ορειβασία γιατί χρειάζονται προσεκτικά βήματα, δίνουν μεγάλη ικανοποίηση σε κάθε κατάκτηση και σε κάθε κορυφή μπορείς να δεις όλο και πιο μακριά.

Για το πρόβλημα της κίνησης φέρνει παράδειγμα τον επιβάτη ενός κλειστού πλοίου που δεν μπορεί να ξέρει από το περιβάλλον του αν κινείται. Έπειτα αναλύει την απόσταση που διανύει ένα σώμα σε ελεύθερη πτώση.  Συνδέει τη διανυμένη απόσταση με το εμβαδό των διαγραμμάτων ταχύτητας-χρόνου. Δείχνει απλούς κανόνες που διέπουν τη ρίψη ζαριών, πχ: αν ρίξεις δυο ζάρια μαζί, τις περισσότερες φορές θα φέρεις άθροισμα 7. Εξετάζει εάν τα τετράγωνα των φυσικών αριθμών είναι λιγότερα από το πλήθος των φυσικών αριθμών.

Εμφανίζεται σίγουρος για δύο πράγματα: την πρόοδο της επιστήμης δε μπορεί να τη σταματήσει κανείς, αλλά επίσης δεν πρόκειται να εξαλειφθούν από τη γη οι προκαταλήψεις, τα δόγματα, οι ραδιούργοι, τα παράσιτα και οι ανόητοι.

Ο συγγραφέας κλείνει με ένα επίλογο: το ενδιαφέρον για τα μαθηματικά φαίνεται να αυξάνεται. Τι είναι τα μαθηματικά, τι το ξεχωριστό έχουν, πώς μπορούν να προσφέρουν στην κοινωνία, πώς χρησιμοποιούνται;

Μιλώντας με ανθρώπους διαπιστώνει ο συγγραφέας ένα μεγάλο αριθμό προκαταλήψεων και εσφαλμένων αντιλήψεων αλλά και λανθασμένων γενικεύσεων!

Γιαυτό επέλεξε να χρησιμοποιήσει διαλόγους που διατηρούν πιο ζωντανό το ενδιαφέρον του αναγνώστη  και μέσα από τη σωκρατική μέθοδο οδηγούν στην άρση των εσφαλμένων αντιλήψεων και την εναργέστερη κατανόηση των μαθηματικών.