ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Αριθμητική

Μελετά τους ακεραίους και τα κλάσματα

Τυπικό θεώρημα: αν αφαιρέσουμε περιττό από άρτιο, το αποτέλεσμα είναι περιττός.

Γεωμετρία

Μελετά τα σχήματα του χώρου – σημεία, ευθείες, καμπύλες, τρισδιάστατα αντικείμενα

Τυπικό θεώρημα: το άθροισμα των γωνιών ενός επιπέδου τριγώνου είναι 180 μοίρες

Άλγεβρα

Χρησιμοποιεί αφηρημένα σύμβολα για την παράσταση μαθηματικών αντικειμένων (αριθμών, γραμμών, πινάκων, μετασχηματισμών) και μελετά τους κανόνες συνδυασμού αυτών των συμβόλων.

Τυπικό θεώρημα: για οποιουσδήοπτε αριθμούς χ και ψ ισχύει ότι (χ-ψ)(χ+ψ)=χ²-ψ².

Ανάλυση

Μελετά τα όρια

Τυπικό θεώρημα: η αρμονική σειρά (1+1/2+1/3+1/4+1/5+…) αποκλίνει (αυξάνει απεριόριστα).

Οι πρώτοι είναι άπειροι

Ευκλείδης: έστω ότι ο τελευταίος πρώτος είναι ο Ν.
για Ν πρώτο, ο αριθμός Ν!+1 = (1*2*3*5*7*..*Ν)+1

είτε δεν έχει γνήσιους παράγοντες άρα είναι και ο ίδιος πρώτος

είτε ο μικρότερος γνήσιος παράγοντάς του είναι μεγαλύτερος από το Ν άρα ο Ν δεν ήταν ο τελευταίος πρώτος. Και στις δυο περιπτώσεις ΔΕΝ υπάρχει τελευταίος πρώτος.

(σημειώσεις που χρειάζονται συμπλήρωση)
Συνάρτηση απαρίθμησης των πρώτων π(Ν)

Εκθετική συνάρτηση

Αρχέτυπα αυξάνονται προσθετικά, εικόνες αυξάνονται πολλαπλασιαστικά (με ομαλό τρόπο) α^Ν Η πιο σημαντική εκθετική συνάρτηση e^Ν

Αριθμός  e=2,718281828459045235360287..

1, (1+1/2)² , (1+1/3)³, (1+1/4)⁴, (1+1/5)⁵ , …= e

Παραγώγιση-ολοκλήρωση

Μετατρέπουμε μια συνάρτηση f σε μια άλλη g που να δίνει το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της f για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής, δηλαδή την κλίση της καμπύλης f(χ) για κάθε χ. Για τη log χ η παράγωγος είναι 1/χ. S=ut g=Δu/Δt.

Η αντίστροφη διαδικασία είναι η ολοκλήρωση.

y=e^x, x=log y

κανόνες παραγώγισης

έστω g η παράγωγος της f, τότε η παράγωγος της 7f είναι η 7g. (πχ.της log χ παράγωγος είναι η1/χ άρα της 7log χ παράγωγος είναι η 7*1/χ)

η παράγωγος της f+g  ισούται με την παράγωγο της f συν την παράγωγο της g

η παράγωγος του χ^Ν ισούται με Νχ^Ν-1

παράγωγοι των συναρτήσεων χ^Ν

Συνάρτηση      χ^-3                    χ^-2        χ^-1        χ⁰         χ¹         χ²                     χ³

Παράγωγος     -3χ^-4                 -2χ^-3     -χ^-2       0          1          2χ¹                   3χ²

Ολοκλήρωμα  -1/2χ^-2             -χ^-1       logχ     χ          1/2χ²    (1/3)χ³             (1/4)^χ4

Γενικά για Ν≠-1 το ολοκλήρωμα του χΝ είναι χ^Ν+1/(Ν+1)

το θεώρημα των πρώτων αριθμών

π(Ν) ~ Ν/log Ν

Συνέπεις του ΘΠΑ

Η πιθανότητανα να είναι ένας αριθμός πρώτος είναι~ 1/logΝ

Ο Ν-οστός πρώτος αριθμός είναι ~Ν *logΝ

Βελτιωμένη εκδοχή ΘΠΑ π(Ν) ~Li (Ν) [λογαριθμικό ολοκλήρωμα, το εμβαδό του χωρίου που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της 1/logΝ από το 0 έως το Ν.]

 

16. ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΑ ΕΜΒΑΔΑ

Από τον αιγυπτιακό πάπυρο του Rhind (1650 π.Χ.) (τώρα στο Βρετανικό Μουσείο) μαθαίνουμε τους αιγυπτιακούς τύπους για το εμβαδό του κύκλου και ενός τετραπλεύρου.
(με κόκκινο στη φωτό). Οι τύποι αυτοί περιέχουν λάθη και είναι απορίας άξιο που οι Αιγύπτιοι δε δοκίμασαν να τους βελτιώσουν.
Ο τύπος για τον κύκλο περιέχει σφάλμα περίπου 0,6%
Ο τύπος του τετράπλευρου αληθεύει μόνο για τετράγωνα, τα υπόλοιπα τετράπλευρα έχουν πολύ μεγάλο σφάλμα.
Μπορείτε να υπολογίσετε πιο τετράπλευρο δίνει το μεγαλύτερο σφάλμα και να δώσετε παράδειγμα?

Έστω ισοσκελές τραπέζιο με Μεγάλη Βάση 10, μικρή βάση 4, πλάγια πλευρά 5, και ύψος 4.

Με την ελληνική μέθοδο το εμβαδό είναι 28, ενώ με την αιγυπτιακή 35!
Αυτό το αποτέλεσμα είναι φουσκωμένο κατά 25% από το πραγματικό! Είναι βέβαιο ότι οι Φαραώ εισέπρατταν φόρους ανάλογα με το εμβαδό ενός χωραφιού και είναι προφανές γιατί δε μετρούσαν "ελληνικά".