ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Αριθμητική

Μελετά τους ακεραίους και τα κλάσματα

Τυπικό θεώρημα: αν αφαιρέσουμε περιττό από άρτιο, το αποτέλεσμα είναι περιττός.

Γεωμετρία

Μελετά τα σχήματα του χώρου – σημεία, ευθείες, καμπύλες, τρισδιάστατα αντικείμενα

Τυπικό θεώρημα: το άθροισμα των γωνιών ενός επιπέδου τριγώνου είναι 180 μοίρες

Άλγεβρα

Χρησιμοποιεί αφηρημένα σύμβολα για την παράσταση μαθηματικών αντικειμένων (αριθμών, γραμμών, πινάκων, μετασχηματισμών) και μελετά τους κανόνες συνδυασμού αυτών των συμβόλων.

Τυπικό θεώρημα: για οποιουσδήοπτε αριθμούς χ και ψ ισχύει ότι (χ-ψ)(χ+ψ)=χ²-ψ².

Ανάλυση

Μελετά τα όρια

Τυπικό θεώρημα: η αρμονική σειρά (1+1/2+1/3+1/4+1/5+…) αποκλίνει (αυξάνει απεριόριστα).

Οι πρώτοι είναι άπειροι

Ευκλείδης: έστω ότι ο τελευταίος πρώτος είναι ο Ν.
για Ν πρώτο, ο αριθμός Ν!+1 = (1*2*3*5*7*..*Ν)+1

είτε δεν έχει γνήσιους παράγοντες άρα είναι και ο ίδιος πρώτος

είτε ο μικρότερος γνήσιος παράγοντάς του είναι μεγαλύτερος από το Ν άρα ο Ν δεν ήταν ο τελευταίος πρώτος. Και στις δυο περιπτώσεις ΔΕΝ υπάρχει τελευταίος πρώτος.

(σημειώσεις που χρειάζονται συμπλήρωση)
Συνάρτηση απαρίθμησης των πρώτων π(Ν)

Εκθετική συνάρτηση

Αρχέτυπα αυξάνονται προσθετικά, εικόνες αυξάνονται πολλαπλασιαστικά (με ομαλό τρόπο) α^Ν Η πιο σημαντική εκθετική συνάρτηση e^Ν

Αριθμός  e=2,718281828459045235360287..

1, (1+1/2)² , (1+1/3)³, (1+1/4)⁴, (1+1/5)⁵ , …= e

Παραγώγιση-ολοκλήρωση

Μετατρέπουμε μια συνάρτηση f σε μια άλλη g που να δίνει το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της f για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής, δηλαδή την κλίση της καμπύλης f(χ) για κάθε χ. Για τη log χ η παράγωγος είναι 1/χ. S=ut g=Δu/Δt.

Η αντίστροφη διαδικασία είναι η ολοκλήρωση.

y=e^x, x=log y

κανόνες παραγώγισης

έστω g η παράγωγος της f, τότε η παράγωγος της 7f είναι η 7g. (πχ.της log χ παράγωγος είναι η1/χ άρα της 7log χ παράγωγος είναι η 7*1/χ)

η παράγωγος της f+g  ισούται με την παράγωγο της f συν την παράγωγο της g

η παράγωγος του χ^Ν ισούται με Νχ^Ν-1

παράγωγοι των συναρτήσεων χ^Ν

Συνάρτηση      χ^-3                    χ^-2        χ^-1        χ⁰         χ¹         χ²                     χ³

Παράγωγος     -3χ^-4                 -2χ^-3     -χ^-2       0          1          2χ¹                   3χ²

Ολοκλήρωμα  -1/2χ^-2             -χ^-1       logχ     χ          1/2χ²    (1/3)χ³             (1/4)^χ4

Γενικά για Ν≠-1 το ολοκλήρωμα του χΝ είναι χ^Ν+1/(Ν+1)

το θεώρημα των πρώτων αριθμών

π(Ν) ~ Ν/log Ν

Συνέπεις του ΘΠΑ

Η πιθανότητανα να είναι ένας αριθμός πρώτος είναι~ 1/logΝ

Ο Ν-οστός πρώτος αριθμός είναι ~Ν *logΝ

Βελτιωμένη εκδοχή ΘΠΑ π(Ν) ~Li (Ν) [λογαριθμικό ολοκλήρωμα, το εμβαδό του χωρίου που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της 1/logΝ από το 0 έως το Ν.]

 

28. ΠΟΛΩΣΗ CHEBYSHEV

Αν διαιρέσουμε κάποιο πρώτο αριθμό με το 3, θα βρούμε υπόλοιπο είτε 1 είτε 2. (γιατί άραγε;) Αν διαιρέσουμε κάποιον πρώτο αριθμό με το 4, αφήνει υπόλοιπο είτε 1 είτε 3.
O Ρώσος μαθηματικός Τσέμπισεφ παρατήρησε ότι η διαίρεση ενός πρώτου δια 3 δίνει συχνότερα υπόλοιπο 2 και σπανιότερα 1. Αντίστοιχα η διαίρεση δια 4 δίνει συχνότερα 3 παρά 1. Αυτή η "προτίμηση" λέγεται πόλωση Τσέμπισεφ.

Στους πρώτους 1000 "πρώτους" αριθμούς που διαιρέσαμε δια 3 βρίσκουμε υπόλοιπο 2 τις 509 φορές, ενώ 1 έχουμε 491 φορές (ποσοστό 50,95% -49,05%) και όταν διαιρέσαμε δια 4 βρήκαμε υπόλοιπο 3 στις 503 περιπτώσεις και 1 στις 497 (ποσοστό 50,35%-49,65%).
Η διαφορά αυξάνεται αν χρησιμοποιήσετε μεγαλύτερους πρώτους και αξίζει να δοκιμάσετε.

1. ΤΖΙΤΖΙΚΙΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Υπάρχουν τζιτζίκια που η ενήλικη ζωή τους διαρκεί λίγες εβδομάδες, ενώ το στάδιο της προνύμφης διαρκεί είτε 13 είτε 17 χρόνια. Υπάρχουν τρία είδη (species) τζιτζικιών που έχουν μια 13ετή φυλή και μια 17ετή!

Ο προφανής λόγος για την ¨επιλογή¨ είναι ότι οι πρώτοι αριθμοί 13 & 17 έχουν λιγότερα κοινά πολλαπλάσια είτε μεταξύ τους είτε με άλλους αριθμούς (πχ 4, 6, 8, 12) οπότε τα συγκεκριμένα ενήλικα τζιτζίκια σπανιότατα συναντώνται για να διεκδικήσουν την ίδια τροφή σε κοινό χώρο και χρόνο με οποιοδήποτε άλλο ανταγωνιστή!

ΑΣΚΗΣΗ