ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Αριθμητική

Μελετά τους ακεραίους και τα κλάσματα

Τυπικό θεώρημα: αν αφαιρέσουμε περιττό από άρτιο, το αποτέλεσμα είναι περιττός.

Γεωμετρία

Μελετά τα σχήματα του χώρου – σημεία, ευθείες, καμπύλες, τρισδιάστατα αντικείμενα

Τυπικό θεώρημα: το άθροισμα των γωνιών ενός επιπέδου τριγώνου είναι 180 μοίρες

Άλγεβρα

Χρησιμοποιεί αφηρημένα σύμβολα για την παράσταση μαθηματικών αντικειμένων (αριθμών, γραμμών, πινάκων, μετασχηματισμών) και μελετά τους κανόνες συνδυασμού αυτών των συμβόλων.

Τυπικό θεώρημα: για οποιουσδήοπτε αριθμούς χ και ψ ισχύει ότι (χ-ψ)(χ+ψ)=χ²-ψ².

Ανάλυση

Μελετά τα όρια

Τυπικό θεώρημα: η αρμονική σειρά (1+1/2+1/3+1/4+1/5+…) αποκλίνει (αυξάνει απεριόριστα).

Οι πρώτοι είναι άπειροι

Ευκλείδης: έστω ότι ο τελευταίος πρώτος είναι ο Ν.
για Ν πρώτο, ο αριθμός Ν!+1 = (1*2*3*5*7*..*Ν)+1

είτε δεν έχει γνήσιους παράγοντες άρα είναι και ο ίδιος πρώτος

είτε ο μικρότερος γνήσιος παράγοντάς του είναι μεγαλύτερος από το Ν άρα ο Ν δεν ήταν ο τελευταίος πρώτος. Και στις δυο περιπτώσεις ΔΕΝ υπάρχει τελευταίος πρώτος.

(σημειώσεις που χρειάζονται συμπλήρωση)
Συνάρτηση απαρίθμησης των πρώτων π(Ν)

Εκθετική συνάρτηση

Αρχέτυπα αυξάνονται προσθετικά, εικόνες αυξάνονται πολλαπλασιαστικά (με ομαλό τρόπο) α^Ν Η πιο σημαντική εκθετική συνάρτηση e^Ν

Αριθμός  e=2,718281828459045235360287..

1, (1+1/2)² , (1+1/3)³, (1+1/4)⁴, (1+1/5)⁵ , …= e

Παραγώγιση-ολοκλήρωση

Μετατρέπουμε μια συνάρτηση f σε μια άλλη g που να δίνει το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της f για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής, δηλαδή την κλίση της καμπύλης f(χ) για κάθε χ. Για τη log χ η παράγωγος είναι 1/χ. S=ut g=Δu/Δt.

Η αντίστροφη διαδικασία είναι η ολοκλήρωση.

y=e^x, x=log y

κανόνες παραγώγισης

έστω g η παράγωγος της f, τότε η παράγωγος της 7f είναι η 7g. (πχ.της log χ παράγωγος είναι η1/χ άρα της 7log χ παράγωγος είναι η 7*1/χ)

η παράγωγος της f+g  ισούται με την παράγωγο της f συν την παράγωγο της g

η παράγωγος του χ^Ν ισούται με Νχ^Ν-1

παράγωγοι των συναρτήσεων χ^Ν

Συνάρτηση      χ^-3                    χ^-2        χ^-1        χ⁰         χ¹         χ²                     χ³

Παράγωγος     -3χ^-4                 -2χ^-3     -χ^-2       0          1          2χ¹                   3χ²

Ολοκλήρωμα  -1/2χ^-2             -χ^-1       logχ     χ          1/2χ²    (1/3)χ³             (1/4)^χ4

Γενικά για Ν≠-1 το ολοκλήρωμα του χΝ είναι χ^Ν+1/(Ν+1)

το θεώρημα των πρώτων αριθμών

π(Ν) ~ Ν/log Ν

Συνέπεις του ΘΠΑ

Η πιθανότητανα να είναι ένας αριθμός πρώτος είναι~ 1/logΝ

Ο Ν-οστός πρώτος αριθμός είναι ~Ν *logΝ

Βελτιωμένη εκδοχή ΘΠΑ π(Ν) ~Li (Ν) [λογαριθμικό ολοκλήρωμα, το εμβαδό του χωρίου που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της 1/logΝ από το 0 έως το Ν.]

 

Διάλογοι για τα μαθηματικά

Αφιερωμένο στην Ερμιόνη και τον Αλέξανδρο που μας έδωσαν αυτό το υπέροχο (και σήμερα δυσεύρετο) βιβλίο:

Alfred Renyi, Διάλογοι για τα μαθηματικά, εκδ. Διογένης, Αθήνα, 1979.

Περιέχει 3 εξαιρετικούς διαλόγους για τη φύση και τη χρησιμότητα των μαθηματικών!

ΔΙΑΛΟΓΟΣ Α΄(Συνομιλούν ο Ιπποκράτης και ο Σωκράτης)

- H επιστήμη των μαθηματικών ασχολείται με κάτι που υπάρχει στην πραγματικότητα, ή υπάρχει μόνο στο νου των μαθηματικών;

- Αν γράψω ένα αριθμό, ο αριθμός αυτός δεν υπάρχει πάνω στην πινακίδα;

-  Ναι αλλά αν ζωγραφίσεις ένα δράκο, σημαίνει ότι ο δράκος υπάρχει στ’ αλήθεια;

- Μπορείς να μετρήσεις τα πρόβατα εδώ, ή τα πλοία στο λιμάνι; Οι αριθμοί που χρησιμοποιείς υπάρχουν καθευατούς;

Ο Θεαίτητος έχει δώσει μερικά παραδείγματα για την αξιοπιστία των μαθηματικών: ενώ δεν μπορείς να μετρήσεις με ακρίβεια το πλήθος των κατοίκων της Ελλάδας (αφού στη διάρκεια της μέτρησης κάποιοι θα πεθάνουν και κάποιοι νέοι θα γεννηθούν) μπορείς να αποφανθείς με βεβαιότητα για το πλήθος των ακμών ή των εδρών ενός πολυγώνου. Ενώ δεν μπορείς να βρεις δυο ίδιες κολώνες, ή πρόβατα ή δάχτυλα, μπορείς να αποφανθείς με βεβαιότητα για την ισότητα των διαγωνίων του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

Τα μαθηματικά μπορούν να μιλούν με βεβαιότητα για πράγματα που δεν έχουν υλική υπόσταση, ενώ  άλλες επιστήμες που έχουν αντικείμενο με υλική υπόσταση δεν μπορούν να μιλούν για αυτό με τόση βεβαιότητα .

Ο μαθηματικός είναι και εφευρέτης και εξερευνητής!  Εφευρίσκει εργαλεία έρευνας, αλλά ανακαλύπτει αλήθειες που υπάρχουν στη θάλασσα της ανθρώπινης σκέψης.

Ο κόσμος των μαθηματικών είναι μια αντανακλώμενη εικόνα του πραγματικού κόσμου στον καθρέφτη της σκέψης μας,  σαν το είδωλο του προσώπου μας όταν καθρεφτιζόμαστε στο νερό.

Η χρησιμότητά τους έγκειται στο ότι μπορούμε να συνάγουμε συμπεράσματα για τη φύση των αριθμών και των σχημάτων και μετά να χρησιμοποιούμε τις γνώσεις μας στις καθημερινές μας συναλλαγές,  όπως το μοίρασμα μιας περιουσίας, η περίφραξη ενός χωραφιού κ.ο.κ.

Πάντως η μεγαλύτερη ωφέλεια από τα μαθηματικά θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε τις ίδιες τις μαθηματικές μεθόδους, τους κανόνες της λογικής, τον ασυμβίβαστο αγώνα για την αλήθεια, την προσπάθεια αποφυγής αντιφάσεων στον τρόπο που πολιτευόμαστε τα ζητήματα της καθημερινής ιδιωτικής και δημόσιας ζωής μας!

ΔΙΑΛΟΓΟΣ Β΄(Συνομιλούν ο Ιέρων-τύραννος των Συρακουσών- και ο Αρχιμήδης)

Ο Ιέρων επαινεί τον Αρχιμήδη για την επιτυχία των κατόπτρων του ενάντια στο ρωμαϊκό στόλο, του χαρίζει ένα δώρο, του γνωστοποιεί τους όρους της συνθήκης ειρήνης που ζητά ο Μάρκελλος (μεταξύ άλλων να κρατήσει ομήρους τα παιδιά του Ιέρωνα και τον ίδιο τον Αρχιμήδη.) Μετά τον ρωτά από ποιες βασικές αρχές ξεκινώντας έφτασε ο Αρχιμήδης σε αυτές τις επιτυχημένες εφαρμογές και αν τα εφαρμοσμένα μαθηματικά είναι δυσκολότερα, ανώτερα, καλύτερα, πιο χρήσιμα από τα καθαρά μαθηματικά!

Ο Αρχιμήδης του θυμίζει ότι ούτε ο άρχοντας ούτε το ευρύ κοινό δεν πήραν στα σοβαρά καμιά από τις εφευρέσεις του σε περίοδο ειρήνης: μια αντλία με ατέρμονα κοχλία, μια ατμομηχανή για να γυρίζει ο μύλος, μοχλούς, γρανάζια, τροχαλίες. Μόνο όταν έφτασε ο πόλεμος θεώρησαν χρήσιμες τις πολεμικές εφαρμογές αυτών των εργαλείων!  Και παραπονιέται ο Αρχιμήδης ότι ενώ είχε σκοπό να κάνει παγκοσμίως γνωστή την αξία των μαθηματικών και την αξία του ελληνικού πνεύματος που τα γέννησε σε περίοδο ειρήνης, όμως όλοι θεωρούσαν τις εφευρέσεις του παιχνιδάκια και μόνο όταν οι εφευρέσεις άρχισαν να σκοτώνουν τις πήρε ο κόσμος στα σοβαρά!

Στην ερώτηση για τα εφαρμοσμένα και τα καθαρά μαθηματικά απαντά ότι ούτε έκανε καμιά νέα ανακάλυψη ούτε υπάρχουν μυστικά κρυμμένα στα εφαρμοσμένα μαθηματικά: απλά εφαρμόζεις πασίγνωστες αλήθειες των μαθηματικών, όπως αυτή για τις ιδιότητες της παραβολικής καμπύλης για να κατασκευάσεις παραβολικό κάτοπτρο. Δίνει κι άλλα παραδείγματα: πώς χρησιμοποιείς το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο για να συνδυάσεις γρανάζια. Παραλληλίζει τα μαθηματικά με την πανέμορφη κόρη του βασιλιά: τα μαθηματικά ανταμείβουν μόνο αυτούς που ενδιαφέρονται για αυτά τα ίδια και όχι για τα κέρδη τους! Κάνει επίσης μια νύξη για τη σχέση των μαθηματικών μοντέλων με τον πραγματικό κόσμο και τη σχέση των μαθηματικών εννοιών με τις πλατωνικές ιδέες.

ΔΙΑΛΟΓΟΣ Γ΄ (Συνομιλούν  ο Τορρικέλι, ο Γαλιλαίος και η οικοδέσποινα)

Ο Τορρικέλι επισκέπτεται το Γαλιλαίο στο σπίτι που τον είχε περιορίσει η ιερά εξέταση και του προτείνει ένα σχέδιο απόδρασης. Ο Γαλιλαίος αρνείται με το επιχείρημα ότι αν φύγει, ανακηρύσσει τους αντίπαλους του νικητές. Αναλύει τη σκέψη του για το φόβο των ψευδοεπιστημόνων και της εκκλησίας να αποδεχθούν τα σύγχρονα δεδομένα. Δίνει μια «αριστοτελική» εξήγηση γιατί το αρχαίο ελληνικό πνεύμα δεν ανέλυσε την κίνηση.

- Κάποτε θεωρούσαν ανόητη την ιδέα για σφαιρική γη αλλά τώρα πια αυτή η ιδέα έχει λάβει κοινή αποδοχή. Έτσι σιγά σιγά ο κόσμος θα χωνέψει και τα νέα δεδομένα: τους δορυφόρους του Δία, τις φάσεις της Αφροδίτης κτ.ο.

Τονίζει ότι έγραψε το διάλογο όχι για να υπερασπιστεί τη θεωρία του Κοπέρνικου, όσο «για να σηκώσει ψηλά τη σημαία της ελευθερίας της επιστήμης.» Ο Τορρικέλι τον ενημερώνει για την υπόθεση του Κέπλερ ότι οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές, αλλά ο Γαλιλαίος επιμένει στις κυκλικές.

Έπειτα ο Γαλιλαίος αναλύει στην οικοδέσποινα την επιστημονική μέθοδο: για ένα φαινόμενο που παρατηρείς κάνεις μια υπόθεση, στήνεις ένα πείραμα για να επιβεβαιώσεις την υπόθεσή σου, ανάλογα με το αποτέλεσμα στήνεις και άλλα πειράματα για να ελέγξεις και τις αντίθετες ή αντικρουόμενες υποθέσεις και τέλος η πιο ισχυρή εξήγηση υιοθετείται. «Το βιβλίο της φύσης μπορεί να διαβασθεί μόνο από εκείνους που ξέρουν τη γλώσσα που είναι γραμμένο, η γλώσσα αυτή είναι τα μαθηματικά.»  Παρομοιάζει τα μαθηματικά με την ορειβασία γιατί χρειάζονται προσεκτικά βήματα, δίνουν μεγάλη ικανοποίηση σε κάθε κατάκτηση και σε κάθε κορυφή μπορείς να δεις όλο και πιο μακριά.

Για το πρόβλημα της κίνησης φέρνει παράδειγμα τον επιβάτη ενός κλειστού πλοίου που δεν μπορεί να ξέρει από το περιβάλλον του αν κινείται. Έπειτα αναλύει την απόσταση που διανύει ένα σώμα σε ελεύθερη πτώση.  Συνδέει τη διανυμένη απόσταση με το εμβαδό των διαγραμμάτων ταχύτητας-χρόνου. Δείχνει απλούς κανόνες που διέπουν τη ρίψη ζαριών, πχ: αν ρίξεις δυο ζάρια μαζί, τις περισσότερες φορές θα φέρεις άθροισμα 7. Εξετάζει εάν τα τετράγωνα των φυσικών αριθμών είναι λιγότερα από το πλήθος των φυσικών αριθμών.

Εμφανίζεται σίγουρος για δύο πράγματα: την πρόοδο της επιστήμης δε μπορεί να τη σταματήσει κανείς, αλλά επίσης δεν πρόκειται να εξαλειφθούν από τη γη οι προκαταλήψεις, τα δόγματα, οι ραδιούργοι, τα παράσιτα και οι ανόητοι.

Ο συγγραφέας κλείνει με ένα επίλογο: το ενδιαφέρον για τα μαθηματικά φαίνεται να αυξάνεται. Τι είναι τα μαθηματικά, τι το ξεχωριστό έχουν, πώς μπορούν να προσφέρουν στην κοινωνία, πώς χρησιμοποιούνται;

Μιλώντας με ανθρώπους διαπιστώνει ο συγγραφέας ένα μεγάλο αριθμό προκαταλήψεων και εσφαλμένων αντιλήψεων αλλά και λανθασμένων γενικεύσεων!

Γιαυτό επέλεξε να χρησιμοποιήσει διαλόγους που διατηρούν πιο ζωντανό το ενδιαφέρον του αναγνώστη  και μέσα από τη σωκρατική μέθοδο οδηγούν στην άρση των εσφαλμένων αντιλήψεων και την εναργέστερη κατανόηση των μαθηματικών.

ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Το δεκαδικό σύστημα βασίζεται σε δυνάμεις του 10, ενώ το δυαδικό σε δυνάμεις του 2, εξ΄ου και τα ονόματά τους.


Έτσι στο δεκαδικό σύστημα η πρώτη θέση (από δεξιά) δείχνει μονάδες (10^0=1),
η δεύτερη δεκάδες (10^1=10),
η τρίτη εκατοντάδες (10^2=100),
η τέταρτη χιλιάδες (10^3=1000) κ.ο.κ.

Αντίστοιχα στο δυαδικό η πρώτη θέση (από δεξιά) δείχνει μονάδες (2^0=1),
η δεύτερη δυάδες (2^1=2),
η τρίτη τετράδες (2^2=4),
η τέταρτη οκτάδες (2^3=8),
η πέμπτη 16άδες (2^4=16) κ.ο.κ.

Ας μετατρέψουμε ένα αριθμό του δεκαδικού συστήματος στο δυαδικό.


Π.χ. τον 125.
Διαιρείται δια 64? Ναι άρα περιέχει μια 64άδα
Το υπόλοιπο (125-64=61) διαιρείται δια 32? Ναι άρα περιέχει μια 32άδα
Το υπόλοιπο (61-32=29) διαιρείται δια 16? Ναι άρα περιέχει μια 16άδα
Το υπόλοιπο (29-16=13) διαιρείται δια 8? Ναι άρα περιέχει μια 8άδα
Το υπόλοιπο (13-8=5) διαιρείται δια 4? Ναι άρα περιέχει μια 4άδα
Το υπόλοιπο (5-4=1) διαιρείται δια 2? ΟΧΙ άρα δεν περιέχει ΚΑΜΙΑ 2άδα
Προφανώς όλοι οι μονοί αριθμοί του δεκαδικού συστήματος θα έχουν μια μονάδα (υπόλοιπο) στο δυαδικό, ενώ οι ζυγοί αριθμοί όχι.

Άρα 125 (δεκαδικό) =1111101 (δυαδικό)



Ας μετατρέψουμε ένα αριθμό του δυαδικού συστήματος στο δεκαδικό.

Π.χ. τον 1001
Η πρώτη θέση (δεξιά) μαρτυρεί ότι υπάρχει μονάδα 1
Η 2η θέση (από δεξιά) μαρτυρεί ότι ΔΕΝ υπάρχει δυάδα 0
Η 3η θέση (από δεξιά) μαρτυρεί ότι ΔΕΝ υπάρχει τετράδα 0
Η 4η θέση (από δεξιά) μαρτυρεί ότι υπάρχει οχτάδα 8

Αθροίζουμε κάθετα και έχουμε 9.
Άρα 1001(δυαδικό) = 9(δεκαδικό)


Μπορείτε να επαληθεύσετε αυτό:

1011001110001 (δυαδικό) = 5745 (δεκαδικό)

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΠΑΠΑΓΑΛΟΥ

που και που διαβάζουμε και κανένα βιβλίο. συγρ. Ντένι Γκετζ, μτφρ, Τεύκρος Μιχαηλίδης, εκδ. ΠΟΛΙΣ.

Δυο φίλοι χωρισμένοι εδώ και πολλά χρόνια, ένας παπαγάλος που έχει αποστηθίσει τα άπαντα των μαθηματικών, αλλά καταφθάνει στον προορισμό του με εγκεφαλική διάσειση, ένα φορτίο βιβλίων μαθηματικών φορτωμένο σε ένα καράβι που παραλίγο να τα καταπιεί ο ωκεανός. Έτσι ξεκινά μια ιστορία που μας οδηγεί βήμα-βήμα στα επιτεύγματα των μαθηματικών ανά τους αιώνες. Ένα αστυνομικό μυθιστόρημα με λαθρεμπόρους ζώων, με ανθρώπους που ψάχνουν τα άλυτα μαθηματικά προβλήματα και με πολλές ανατροπές. Δεν αποκαλύπτω περισσότερα, για να το απολαύσετε.

αυτά τα 2 μου έκαναν εντύπωση:
1.Τα γαλλικά παραμύθια τελειώνουν με τη φράση «και έκαναν πολλά παιδιά.»

2.HMV =His master’s Voice. Εταιρεία γραμμοφώνων, όνομα εμπνευσμένο από το ανέκδοτο για το σκύλο του Th.Edison (εφευρέτη του γραμμόφωνου). Ο σκύλος ακούγοντας τη φωνή του Edison από το γραμμόφωνο την αναγνώρισε ως τη "φωνή του κυρίου του" και άρχισε να γαυγίζει.

Μπορώ επίσης να σταχυολογήσω λίγα από τα μαθηματικά του βιβλίου.

Θαλής. Δυο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
Τρία μη συνευθειακά σημεία ορίζουν κύκλο! και επίπεδο.
Πυραμίδα Χέοπα: η ανωτερότητα του φαραώ η μηδαμινότητα του ανθρώπου. Μέτρηση του ύψους από τη σκιά.
Τρεις παράλληλες ευθείες ορίζουν σε δυο τέμνουσες τμήματα ανάλογα.


χ^μ*χ^ν =χ^μ+ν

κόλπα για να βρίσκουμε γρήγορα το άθροισμα κάποιας σειράς
1+2+3+..+ν=ν(ν+1)/2 δοκιμάστε το! πόσο κάνει 1+2+3+4+...+100 ?

1^2+ 2^2 +3^2 +…+ν^2 = ν(ν+1)(2ν+1)/6

1^3+ 2^3 +3^3 +…+ν^3 =(1+2+3+..+ν)^2

Φίλιοι αριθμοί: το άθροισμα των διαιρετών του ενός ισούται με τον άλλο (πχ.220, 284)
(17.296, 18.416 Φερμά)
(9.363.584, 9.437.056 αλ-Γιαζντί/Ντεκάρτ).

Αριθμητικός μέσος β: α-β=β-γ, β=(α+γ)/2
Γεωμετρικός μέσος β: α/β=β/γ, β2=αγ
Αρμονικός μέσος β των γ και δ : γ=β+α, α=γ1/χ β=δ+ε, ε=δ1/χ
6=4+2 2=6/3, 4=3+1 1=3/3

π.χ.
Αριθμητικός μέσος των 6 και 3: 4,5
Γεωμετρικός μέσος των 6 και 3: 4,24
Αρμονικός μέσος των 6 και 3: 4

Πυθαγόρας: ένα μουσικό διάστημα αντιστοιχεί στο λόγο δυο αριθμών, το 8ηχο διάστημα στο λόγο ½, το 5ηχο στο 2/3, το 4ηχο στο ¾.

Ο ρίζα 2 είναι άρρητος. Έστω κλάσμα α/β τέτοιο ώστε (α/β)^2 = 2, άρα α^2/β^2=2, άρα α^2 =2β^2, άτοπο γιατί α,β πρέπει να είναι πρώτοι μεταξύ τους και ταυτόχρονα άρτιοι (για να έχουν άρτιο τετράγωνο).

Τα πέντε αιτήματα του Ευκλείδη. Τα πέντε «κανονικά» (εγγράψιμα σε σφαίρα) στερεά
(4-,6-,8-,12-,20-εδρο).

Φερμά
πρώτοι αριθμοί 4κ+1 (αφήνουν υπόλοιπο 1 διαιρούμενοι με το 4)
πρώτοι αριθμοί 4κ+3 (αφήνουν υπόλοιπο 3 διαιρούμενοι με το 4)

οι 4κ+1 μπορούν να εκφραστούν με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα δύο τετραγώνων (αλλά όχι οι 4κ+3). Για κ=3 4κ+3= 13 =22+32.

Μικρό Θεώρημα: αν ο α διαιρείται δια p και p είναι πρώτος τότε ο (α ^p-1)-1 διαιρείται δια p.

Κανένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές ακέραιους αριθμούς δεν έχει ως εμβαδό τετράγωνο αριθμό (Ε=β*υ/2).

Οι τρόποι υπολογισμού του π.
Ο αριθμός e.
Η εκθετική συνάρτηση είναι η μόνη που είναι ίση με την παράγωγό της.

Ο λογάριθμος του γινομένου ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων
log(xy)=logx+logy
log(x/y)=logx-logy
log(x^ν)=νlogx
log(√x)=(1/2)logx δηλαδή log(17√x)=(1/17)logx

Ο όγκος της σφαίρας ισούται με τα 2/3 του όγκου του κυλίνδρου, το ίδιο και οι επιφάνειές τους. Ο όγκος του κώνου είναι το 1/3 του όγκου του κυλίνδρου, η επιφάνεια της σφαίρας είναι 4πλάσια από αυτή του μέγιστου κύκλου της. (Αρχιμήδης)

28. ΠΟΛΩΣΗ CHEBYSHEV

Αν διαιρέσουμε κάποιο πρώτο αριθμό με το 3, θα βρούμε υπόλοιπο είτε 1 είτε 2. (γιατί άραγε;) Αν διαιρέσουμε κάποιον πρώτο αριθμό με το 4, αφήνει υπόλοιπο είτε 1 είτε 3.
O Ρώσος μαθηματικός Τσέμπισεφ παρατήρησε ότι η διαίρεση ενός πρώτου δια 3 δίνει συχνότερα υπόλοιπο 2 και σπανιότερα 1. Αντίστοιχα η διαίρεση δια 4 δίνει συχνότερα 3 παρά 1. Αυτή η "προτίμηση" λέγεται πόλωση Τσέμπισεφ.

Στους πρώτους 1000 "πρώτους" αριθμούς που διαιρέσαμε δια 3 βρίσκουμε υπόλοιπο 2 τις 509 φορές, ενώ 1 έχουμε 491 φορές (ποσοστό 50,95% -49,05%) και όταν διαιρέσαμε δια 4 βρήκαμε υπόλοιπο 3 στις 503 περιπτώσεις και 1 στις 497 (ποσοστό 50,35%-49,65%).
Η διαφορά αυξάνεται αν χρησιμοποιήσετε μεγαλύτερους πρώτους και αξίζει να δοκιμάσετε.

ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΝΑΙ -ΟΧΙ

Τυπώστε σε χοντρό χαρτί την πιο πάνω εικόνα.

Κόψτε τις 5 λωρίδες. Αποκόψτε από κάθε λωρίδα τα τετραγωνάκια που είναι σημαδεμένα με Χ.

Βάλτε στο μυαλό σας ένα αριθμό από το 1 ως το 10. Τοποθετήστε πάνω στη βασική λωρίδα (με τους 10 αριθμούς) τις άλλες τέσσερεις ως εξής: αν η Α λωρίδα έχει στη μετωπίδα της τον αριθμό που βάλατε στο μυαλό σας τοποθετήστε τη με το κεφάλι επάνω, αν όχι με τη μετωπίδα κάτω. Αφού τοποθετήσετε όλες τις λωρίδες ανάλογα, θα αποκαλυφθεί ο αριθμός που διαλέξατε! Στο παράδειγμά μας το 10.

Καλά, αυτό είναι παιχνίδι για παιδιά!
Πράγματι, για εσάς έχω κάτι πιο δύσκολο: πώς λειτουργεί αυτό το παιχνίδι? Μέχρι να βρείτε τους κανόνες μπορείτε να εξασκείστε εδώ.

23. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ

Θυμάστε: τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού α είναι εκείνος ο αριθμός β τέτοιος ώστε: β^2=α.

Προφανώς κυβική ρίζα είναι ο β τέτοιος ώστε β^3=α, τέταρτη ρίζα ο β τέτοιος ώστε β^4=α...

Θυμάστε επίσης τους άρρητους αριθμούς? αριθμοί χωρίς τέλος, που δεν μπορούν να γραφούν καν ως κλάσματα...πχ. ο ρίζα 2 =1,41421356...

Κιόμως ακόμη και τέτοιοι αριθμοί μπορούν να "κατασκευαστούν" με κανόνα και διαβήτη!

Αυτό βέβαια σας θυμίζει το ναυτίλο και δεν έχετε άδικο...

18. ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ

Δεν είναι δυνατό να χωρίσεις μια γωνία σε 3 ίσα μέρη! (εξαιρούνται οι γωνίες 270, 180, 135 μοιρών.) Είναι ένα από τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας. Δε λύνεται με κανόνα και διαβήτη. Με άλλα λόγια δεν είναι 2βάθμια εξίσωση με ακέραιους συντελεστές και λύσεις στους πραγματικούς αριθμούς.

Πάντως υπάρχουν πολλά κόλπα. Ο Αρχιμήδης είχε προτείνει μια λύση με κύκλο και βαθμονομημένο χάρακα.

Ένα κανονικό ρολόι μπορεί να το κάνει «αυτόματα»: έστω ότι θέλουμε να τριχοτομήσουμε τη γωνία των 30 μοιρών. Αφήνουμε το λεπτοδείκτη να διανύσει την 4πλάσια γωνία (120 μοίρες) και τότε ο ωροδείκτης θα έχει καλύψει το 1/12 δηλαδή 10 μοίρες!

Μια άλλη λύση είναι το τόμαχοκ που μπορείτε να εκτυπώσετε. Θέστε την κορυφή της υπό τριχοτόμηση γωνιάς επάνω στη διακεκομμένη ευθεία ΒΔ, έτσι ώστε η μια πλευρά της γωνίας να περνά από το Α και η άλλη να εφάπτεται στην καμπύλη του τόμαχοκ. Τώρα οι ευθείες που διέρχονται από τα Β και Γ χωρίζουν τη γωνία σε 3 ίσα μέρη.

ΓΡΙΦΟΣ

Ένα πουλάκι μου είπε πως σας αρέσουν οι γρίφοι.
Ξεσκονίστε τα βιβλία μαθηματικών του λυκείου και πάμε:
Με ποιες αλγεβρικές εκφράσεις μπορούμε να εκφράσουμε το ένα (1) ?

παραδείγματα:
α/α όπου α διάφορο του μηδενός.
ο δεκαδικός λογάριθμος του 10 (log10).

τι λέτε? δημοσιεύω τις απαντήσεις σας και βραβεύουμε τις καλύτερες!

ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΣΤΟΝ ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ

Προσπαθήστε να βρείτε γιατί (και πως) δουλεύει η αιγυπτιακή μέθοδος πολλαπλασιασμού (άρθρο15).
Σε λίγες μέρες η απάντηση θα αναρτηθεί εδώ!
Ο Κώστας έδωσε πρώτος την απάντηση:

όταν πολλαπλασιάζουμε τον ένα όρο με το 2 και ταυτόχρονα διαιρούμε τον άλλο με το 2, η ισότητα διατηρείται.
όταν αφαιρούμε 1 για στρογγυλοποίηση δημιουργείται ένας προσθετέος που πρέπει να προστεθεί στο τελικό αποτέλεσμα.
98 * 57 = Χ

98:2 * 57*2 = Χ
49 * 114 = X
(48+1) * 114 = X
48 * 114 + 1*114 = X

48:2 * 114*2 + 1*114 = X
24 * 228 + 114 = X

24:2 * 228*2 + 114 = X
12 * 456 + 114 = X

12:2 * 456*2 + 114 = X
6 * 912 + 114 = X

6:2 * 912*2 + 114 = X
3 * 1824 + 114 = X
(2+1) * 1824 + 114 = X
2 * 1824 + 1*1824 + 114 = X

2:2 * 1824*2 + 1824 + 114 = X
1 * 3648 + 1824 + 114 = X
3648 + 1824 + 114 = 5.586

16. ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΑ ΕΜΒΑΔΑ

Από τον αιγυπτιακό πάπυρο του Rhind (1650 π.Χ.) (τώρα στο Βρετανικό Μουσείο) μαθαίνουμε τους αιγυπτιακούς τύπους για το εμβαδό του κύκλου και ενός τετραπλεύρου.
(με κόκκινο στη φωτό). Οι τύποι αυτοί περιέχουν λάθη και είναι απορίας άξιο που οι Αιγύπτιοι δε δοκίμασαν να τους βελτιώσουν.
Ο τύπος για τον κύκλο περιέχει σφάλμα περίπου 0,6%
Ο τύπος του τετράπλευρου αληθεύει μόνο για τετράγωνα, τα υπόλοιπα τετράπλευρα έχουν πολύ μεγάλο σφάλμα.
Μπορείτε να υπολογίσετε πιο τετράπλευρο δίνει το μεγαλύτερο σφάλμα και να δώσετε παράδειγμα?

Έστω ισοσκελές τραπέζιο με Μεγάλη Βάση 10, μικρή βάση 4, πλάγια πλευρά 5, και ύψος 4.

Με την ελληνική μέθοδο το εμβαδό είναι 28, ενώ με την αιγυπτιακή 35!
Αυτό το αποτέλεσμα είναι φουσκωμένο κατά 25% από το πραγματικό! Είναι βέβαιο ότι οι Φαραώ εισέπρατταν φόρους ανάλογα με το εμβαδό ενός χωραφιού και είναι προφανές γιατί δε μετρούσαν "ελληνικά".

15. ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Οι Αιγύπτιοι δεν μπορούσαν να πολλαπλασιάζουν τριψήφιους ή μεγαλύτερους αριθμούς. Τους έκοβαν σε αθροίσματα μικρότερων αριθμών και ακολουθούσαν την εξής αργή μέθοδο:
Πολλαπλασιασμός δύο διψήφιων αριθμών (α * β)
Διαιρούμε τον μεγαλύτερο (α) δια 2 ξανά και ξανά μέχρι να βρούμε μονάδα (στρογγυλοποιούμε προς τα κάτω).
Σε διπλανή στήλη πολλαπλασιάζουμε τον μικρό (β) επί 2 ξανά και ξανά.
Κρατάμε από τη στήλη β΄ τους αριθμούς που αντιστοιχούν σε μονούς αριθμούς της στήλης α΄. Τους προσθέτουμε μεταξύ τους και έχουμε το αποτέλεσμα.
π.χ.: 98*57=5.586
α-------β
98-----57
49----114
24----228
12----456
6-----912
3----1824
1----3648

114+1824+3648=5.586
Ακόμη και στη γεωμετρία χρησιμοποιούσαν εμπειρικούς τύπους (που περιέχουν ένα μικρό σφάλμα) για να ξαναχωρίσουν τα χωράφια τους μετά τις πλημμύρες του Νείλου.

Πρώτοι οι Έλληνες κατόρθωσαν να συναγάγουν γενικούς τύπους που ισχύουν οικουμενικά στην αριθμητική και τη γεωμετρία.
Οι πράξεις (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις) με μεγάλους αριθμούς δεν ήταν πάντα εύκολοι. Το αριθμητικό σύστημα των Αιγυπτίων, αλλά και των Ελλήνων δε βοηθούσε καθόλου! Εμείς εξοικειωμένοι με το αραβικό σύστημα δεν καταλαβαίνουμε τη δυσκολία του να αθροίζεις ή να διαιρείς γραμμές ή γράμματα που αναπαριστούν αριθμούς.
Πάντως η γρηγορότερη λύση για αυτό το γινόμενο είναι να σκεφτείς
98*57= (100 - 2) *57 =
100*57 – 2*57=
5700-114=
5586

10. ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΙ & ΠΥΡΑΜΙΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Αν τοποθετήσετε δέκα βαρέλια πλάι-πλάι στη σειρά ξαπλωτά και από πάνω άλλα 9 και από πάνω 8 κ.ο.κ μέχρι το ένα στην κορφή, το άθροισμα των βαρελιών (55) είναι τριγωνικός αριθμός. Γενικά οι αριθμοί που δείχνουν πόσα βαρέλια χρειάζεστε για να φτιάξετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με Ν σειρές λέγονται Τριγωνικοί, υπακούουν στον τύπο Ν(N+1)/2 και αρχίζουν έτσι: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

ΠΥΡΑΜΙΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ λέγονται οι αριθμοί που δείχνουν πόσες μπίλιες χρειάζεστε για να κατασκευάσετε μια πυραμίδα με τετράγωνη βάση και Ν επίπεδα. Υπακούουν στον τύπο
Ν(Ν+1)(2Ν+1)/6 και αρχίζουν έτσι 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385,...

Ουσιαστικά είναι το μερικό άθροισμα της σειράς
1^2 +2^2 +3^2 +4^2 +5^2 +...+Ν^2

8. Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΠΕΡΗ

Οι μαθηματικοί συχνά ασχολούνται με άπειρα αθροίσματα. Πάρτε το
1+1/2+1/3 +1/4 +1/5 +1/6 +1/7 +…
αυτό το άθροισμα τείνει στο άπειρο (αποκλίνει).
Αν υψώσουμε κάθε όρο σε κάποια δύναμη έχουμε:


1+1/2^Ν+1/3 ^Ν +1/4 ^Ν +1/5 ^Ν +1/6 ^Ν +1/7 ^Ν +…


Ειδικά για Ν=2 η σειρά είναι γνωστή ως
«το πρόβλημα της Βασιλείας».
Ο Όιλερ απέδειξε ότι σειρά συγκλίνει για Ν άρτιο. Συγκεκριμένα:
Για Ν=2 η σειρά συγκλίνει στο π^2/6
Για Ν=4 η σειρά συγκλίνει στο π^4/90
Για Ν=6 η σειρά συγκλίνει στο π^6/945



Για Ν περιττό δε γνωρίζαμε τίποτα για τη συμπεριφορά της σειράς. Ο Ελληνογάλλος μαθηματικός Ροζέ Απερής απέδειξε το 1978 ότι η σειρά για Ν=3
(δηλ. 1+1/2^3 +1/3^3 +1/4^3 +1/5^3 +1/6^3 +1/7^3 +…)
είναι ο άρρητος αριθμός 1,2020569031595942854…
Ο αριθμός αυτός παίζει σημαντικό ρόλο στη Θεωρία αριθμών: αν πάρετε στην τύχη τρεις θετικούς ακεραίους η πιθανότητα να μην έχουν κανένα κοινό παράγοντα είναι 0,83190737258070746868.. (δηλ. περίπου 83%) που είναι ο αντίστροφος του αριθμού Απερή.

7. ΑΡΙΘΜΟΙ

Οι ανάγκες του πρώτου ανθρώπου ικανοποιούνταν με τους αριθμούς που σήμερα αποκαλούμε ΦΥΣΙΚΟΥΣ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, κ.ο.κ. Όντως στην απαρίθμηση φυσικών στοιχείων είναι οι μόνοι που χρειάζονται: ένα βουνό, δύο συκιές, επτά ροδάκινα, ογδόντα πρόβατα.
Το μηδέν δύσκολα το τοποθετείς στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Οι αρχαίοι Έλληνες που το είχαν συνδέσει με το τίποτα, το απεχθάνονταν. Βέβαια το πόσο χρήσιμο είναι, φάνηκε από την ανάπτυξη που δέχθηκε η άλγεβρα από τους Άραβες οι οποίοι αγκάλιασαν και χρησιμοποίησαν το μηδέν σαν κανονικό αριθμό.
Μετά αρχίσαμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Η θερμοκρασία είναι 7 βαθμοί Κελσίου. Πέφτει κατά 10 βαθμούς. Πόσο είναι τώρα; Οι φυσικοί αριθμοί αδυνατούν να δώσουν απάντηση, οι ακέραιοι μπορούν.
Τοποθετούμε τους φυσικούς αριθμούς σε μια ευθεία που εκτείνεται επ’άπειρον προς τα δεξιά με αρχή το μηδέν. Η ίδια ευθεία μπορεί να επεκταθεί αριστερά για να συμπεριλάβει και τους αρνητικούς αριθμούς. Όλοι οι θετικοί (φυσικοί) και οι αρνητικοί (οι αντίθετοι των θετικών) μαζί λέγονται ΑΚΕΡΑΙΟΙ.
Μετά χρειαστήκαμε τη διαίρεση. Είναι εύκολο να μοιράσεις ένα κοπάδι 50 ζώων σε δυο κληρονόμους. Αν οι κληρονόμοι είναι τρεις, δεν μας ικανοποιούν οι ακέραιοι αριθμοί...
Στην ευθεία των ακεραίων υποδιαιρούμε τα διαστήματα μεταξύ των ακεραίων σε μικρότερα κομμάτια και έτσι προκύπτουν οι ΡΗΤΟΙ. Ρητοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν ως (ανάγωγο) κλάσμα: 50/3
Αργότερα καθώς οι ανάγκες μας για μετρήσεις και μοιρασιές μεγάλωναν, διαπιστώσαμε ότι οι ρητοί δεν μας αρκούν. Έτσι δημιουργήθηκαν οι ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ. Κάθε σύνολο αριθμών περιέχει το προηγούμενο σαν γνήσιο υποσύνολό του. Έτσι οι πραγματικοί περιέχουν τους ρητούς αλλά και τους άρρητους. Οι τελευταίοι δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσμα π χ.: η υποτείνουσα ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου με μοναδιαία πλευρά είναι √2. Τέτοιοι αριθμοί έχουν μετά την υποδιαστολή άπειρο πλήθος μη επαναλαμβανόμενων ψηφίων.
Μάλιστα οι άρρητοι χωρίζονται σε δυο «οικογένειες»: οι αλγεβρικοί άρρητοι (όπως ο √2 που είναι λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων) και οι υπερβατικοί άρρητοι (όπως ο π 3,14159… που δεν είναι λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων.)
Οι μαθηματικοί δεν αρκέστηκαν σε όλα αυτά και εφηύραν και τους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ αριθμούς. Αυτοί δεν βρίσκονται πάνω στην ευθεία των (φυσικών-ακέραιων- ρητών) πραγματικών αριθμών αλλά στο επίπεδο που ορίζεται από αυτή την ευθεία και μια κάθετη που περνάει από το μηδέν. Είναι της μορφής χ+ψi όπου χ το πραγματικό μέρος του αριθμού και ψi το φανταστικό. (i^2 = -1) Ουσιαστικά μοιάζουν με συντεταγμένες ενός σημείου στο επίπεδο. Όσο φανταστικοί και αν φαίνονται αυτοί οι αριθμοί, είναι χρησιμότατοι στα μαθηματικά και στη φυσική στοιχειωδών σωματιδίων. Κάθε σύνολο αριθμών μας διευκολύνει να κάνουμε πράγματα που απαγορεύονταν με το προηγούμενό του.
Στο σύνολο των φυσικών αριθμών δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε ένα αριθμό από έναν μικρότερό του ( 3-7).
Στους ακέραιους δεν μπορούμε να διαιρέσουμε έναν αριθμό με έναν άλλο (εκτός του 0) αν δεν είναι παράγοντας του πρώτου (8:3).
Στους ρητούς δεν μπορείς να βρίσκεις πάντοτε το όριο μιας συγκλίνουσας σειράς (πχ. το όριο του √2).
Στους πραγματικούς οι αρνητικοί αριθμοί δεν επιτρέπεται να έχουν τετραγωνική ρίζα (χ^2=-1 δηλ. x=√-1).
Λίγη ιστορία: Οι φυσικοί αριθμοί ήταν γνωστοί από τους προϊστορικούς χρόνους. Οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν κλάσματα στην αρχή της 3ης χιλιετίας π.Χ. Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε τους άρρητους γύρω στο 600 π.Χ. Οι αρνητικοί ακέραιοι ήρθαν με την αναγέννηση μέσω της λογιστικής (το μηδέν είχε κάνει την εμφάνισή του λίγο νωρίτερα). Υπάρχουν ακόμη δύο σύνολα πέρα από τους μιγαδικούς: οι κουατερνιονικοί και οι οκτωνιονικοί αριθμοί.

6. ΔΗΛΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Για την θεραπεία ενός λοιμού γύρω στο 430 π.Χ. οι κάτοικοι της Δήλου κατέφυγαν στο μαντείο των Δελφών το οποίο απάντησε ότι έπρεπε να διπλασιάσουν το βωμό του Απόλλωνα. Ο βωμός ήταν κυβικός. Προέκυψε λοιπόν το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου.

Είναι ένα από τα τρία άλυτα προβλήματα που μας κληροδότησε η αρχαιότητα που δε λύνονται με κανόνα και διαβήτη (τα άλλα δυο είναι ο τετραγωνισμός του κύκλου και η τριχοτόμηση της γωνίας).

Πράγματι, αν δοκιμάσετε να διπλασιάσετε το μήκος κάθε πλευράς του κύβου, ο όγκος του δε θα διπλασιαστεί, θα οκταπλασιαστεί (2*2*2=8)! Για να πετύχουμε διπλασιασμό του όγκου πρέπει να πολλαπλασιάσουμε κάθε πλευρά επί 3√2 (την κυβική ρίζα του 2), αριθμό άρρητο.

Η κατασκευή μιας τέτοιας πλευράς δε γίνεται με κανόνα και διαβήτη.
Γενικά στη γεωμετρία επιλύσιμα με κανόνα και διαβήτη είναι τα προβλήματα εκείνα που αντιστοιχούν σε αλγεβρικές εξισώσεις οι οποίες έχουν λύσεις ρητούς αριθμούς.
Με το Δήλιο πρόβλημα ασχολήθηκαν κατά καιρούς οι:Αρχύτας ο Ταραντινός, Εύδοξος ο Κνίδιος, Ερατοσθένης, Απολλώνιος, Ήρων ο Αλεξανδρεύς, Φίλων ο Βυζάντιος, Πάππος.

4. ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Εξισώσεις που απαιτούν ως λύσεις μόνο ακέραιους αριθμούς.
Φέρουν το όνομα του πατέρα της άλγεβρας, Διόφαντου (3ος αι. π.Χ.)
Τις αντιμετωπίζουμε συχνά στην καθημερινή μας ζωή:
θέλω την υπέροχη συνταγή της γιαγιάς για κέικ σε τριπλή δόση. Πόσα αυγά, πόσα πορτοκάλια, πόσες συσκευασίες ζάχαρης, γάλατος, βανίλιας και βιτάμ να αγοράσω; Η σχετική εξίσωση μπορεί να δίνει ως λύσεις (εκφρασμένες σε γραμμάρια ή μιλιλίτρα) δεκαδικούς αριθμούς αλλά δεν μπορώ να αγοράσω 1+3/4 λίτρα γάλατος, ούτε επτάμισι αυγά, ούτε δυόμισι συσκευασίες βανίλιας. Το ίδιο αντιμετωπίζει μια ναυτιλιακή εταιρία αν θέλει να εξυπηρετήσει σε ένα καλοκαιρινό δρομολόγιο περισσότερους ταξιδιώτες: πρέπει να επανδρώσει ένα ακέραιο αριθμό περισσότερων πλοίων.


Ο Χίλμπερτ το 1900 παρέθεσε στους μαθηματικούς τον επόμενων γενεών 23 δύσκολα προβλήματα. Το δέκατο πρόβλημα ζητούσε ένα αλγόριθμο (μια τυπική διαδικασία) για να βρίσκουμε αν μια διοφαντική εξίσωση με οσουσδήποτε ακέραιους συντελεστές έχει ή δεν έχει ακέραιες λύσεις.
Το 1970 ο Ματιάσεβιτς απέδειξε ότι δεν υπάρχει τέτοια διαδικασία.

Τέτοια διαδικασία ωστόσο υπάρχει για τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις τριών συντελεστών (αχ2+βχ+γ=0) που διδαχθήκαμε στο Λύκειο: από τη διακρίνουσα Δ=β2-4αγ, ανακαλύπτουμε αν η εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις ή όχι χωρίς καν να λύσουμε την εξίσωση!

1. ΤΖΙΤΖΙΚΙΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Υπάρχουν τζιτζίκια που η ενήλικη ζωή τους διαρκεί λίγες εβδομάδες, ενώ το στάδιο της προνύμφης διαρκεί είτε 13 είτε 17 χρόνια. Υπάρχουν τρία είδη (species) τζιτζικιών που έχουν μια 13ετή φυλή και μια 17ετή!

Ο προφανής λόγος για την ¨επιλογή¨ είναι ότι οι πρώτοι αριθμοί 13 & 17 έχουν λιγότερα κοινά πολλαπλάσια είτε μεταξύ τους είτε με άλλους αριθμούς (πχ 4, 6, 8, 12) οπότε τα συγκεκριμένα ενήλικα τζιτζίκια σπανιότατα συναντώνται για να διεκδικήσουν την ίδια τροφή σε κοινό χώρο και χρόνο με οποιοδήποτε άλλο ανταγωνιστή!

ΑΣΚΗΣΗ